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八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用勾股定理中的数学思想素材北师大版讲解

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勾股定理中的数学思想
勾股定理是*面几何有关度量的最基本定理,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的 特征.同学们在学*时,不仅要灵活运用该定理及逆定理,而且还要注意在解题中蕴涵着丰富 的数学思想.比如数形结合思想、转化思想、方程思想等.现举出几例进行分析,供同学们参 考. 一、 数形结合思想

例 1. 在直线 L 上依次摆放着七个正方形(如图 1 所示),已知斜放置的三个正方形的面 积 分 别 是 1 、 2 、 3, 正 放 置 的 四 个 正 方 形 的 面 积 依 次 是 S 1 、 S S 1 +S 2 +S 3 +S 4 = .
1 2 S2 图1 3 S3 S4 L

2

、S

3

、S

4

,则

S1

分析:经过观察图形,可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为: S 1 +S 2 =1;S 2 +S 3 =2; S 3 +S 4 =3;这样数形结合可把问题解决. 解: S 1 代表的面积为 S 1 的正方形边长的*方, S 2 代表的面积为 S 2 的正方形边长的*方, 所 以 S 1 +S
2

= 斜 放 置 的 正 方 形 面 积 为 1; 同 理 S 3 +S

4

= 斜 放 置 的 正 方 形 面 积 为 3, 故

S 1 +S 2 +S 3 +S 4 =1+3=4.

二、转化思想 例 2. 如图 2,长方体的长为 15cm,宽为 10cm,高为 20cm,点 B 离点 C 的距离是 5cm,一只蚂 蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 C,需要爬行的最短路径是多少? 分析:蚂蚁实际上是在长方体的侧面上爬行,如果将长方体的侧面展开 (如图 2-1),根据“两点之间线段最短.” 所以求得的路径就是侧面展开图 中线段 AC 之长,但展开方式有 3 种,这样通过侧面展 开图把立体图形转化为*面图形,构造成直角三角形,利用勾股定理 便可求解. 解:如图所示,把长方体展开后得到如图 2-1、图 2-2、图 2-3 三种情形,蚂 蚁爬行的路径为展开图中的 AC 长,根据勾股定理可知

1

在图 2-1 中,AC =AB ? BC =30 ?5 =925
2

2

2

2

2

图 2-2 中, AC =AD ?CD =20 ?15 =625
2

2

2

2

2

图 2-3 中, AC = AD ?CD =25 ?10 =725
2

2

2

2

2

于是,根据上面三种展开情形中的 AC 长比较,最短的路径是在图 2-2 中,故蚂蚁从 A 点爬行到点 C,最短距离为 25cm.

三、

方程思想

例 3. 如图 3,铁路上 A、B 两点相距 25km,C、D 两点为村庄,DA⊥AB 于 A,CB⊥AB 于 B, 已知 DA=15km,CB=10km。现在要在铁路 AB 上建一个农贸市场 E,使得 C、D 两村到农贸市场 E 的距离相等,则农贸市场 E 应建在距 A 站多少 km 处?
E B

A

D

图3

C

分析:这是一个实际生活中的问题,从图中可以看出,如果单独解直角三角形,这时条件 不够,根据题意,不妨把两个直角三角形同时考虑进去,设未知数,如果设 AE=x,结合勾股 定理,抓住等量关系“DE=CE”列出方程就可以解决问题了。 解:设 AE=x km,由勾股定理得,15 ? x ? 10 ? (25 ? x )
2 2 2 2

解此方程得 x=10 故农贸市场 E 应建在铁路上离 A 站 10km 处。

四、

分类讨论思想

例 4. 已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12,求第三边长. 分析:已知直角三角形的两边的长度,并没有指明哪一条边是斜边,因此要分类讨论. 解:(1)当 5 和 12 均是直角边时,则由勾股定理可得斜边的长度为 52 ? 122 =13; (2)当 5 是直角边,12 是斜边时,则由勾股定理可得另一直角边长为 122 ? 52 ? 119 . 综合(1)、(2)得第三边的长为 13 或 119 。
2

试一试(供同学们练*) 1. (荆州市) 如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒, 规格为 5×6×10(单位:厘米),在上盖中开有一孔便于插吸 管,吸管长为 13 厘米, 小孔到图中边 AB 距离为 1 厘米,到 上盖中与 AB 相邻的两边距离相等,设插入吸管后露在盒外面 的管长为 h 厘米, 则 h 的最小值大约为_________厘米. (精确 到个位) (参考数据: 2 ? 1.4, 3 ? 1.7, 5 ? 2.2 )

2. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 4/π ,高为 3,若一只小虫从 A 点出发沿着圆柱的 侧面爬行到点 C,则小虫爬行的最短路程是 . 答案:5

C

D

B

A

3

3. 如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正 方形 ACEF,再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH,如此下去? (1) 记 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 a1 ? 1, 依 上 述 方 法 所 作 的 正 方 形 的 边 长 依 次 为

a2 , a3 , a4 ...,an ,

求出 a2,a3,a4 的值;
J

k G H E F D C A B

(2)根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 a n 的表达式. 答案提示: (1) a1 ? ( 2 ) 0 , a2 ? ( 2 )1 , a3 ? ( 2 ) 2 , a 4 =( 2 ) 3 ; (2)a n ? ( 2 ) n?1 (n≧1 的自然数)

4




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